martes, 27 de mayo de 2008

LOGICA PROPOSICIONAL

LOGICA PROPOSICIONAL

Aproximadamente hablando, una afirmación o proposición es una construcción en un lenguaje, que es falsa o verdadera. Las preguntas y las órdenes, por ejemplo, no son afirmaciones. La afirmación ``x > 5'' es falsa cuando la ``variable'' x es menor o igual que 5, y verdadera de lo contrario. Así, hay proposiciones que son falsas o verdaderas según como se interpreten las variables que aparezcan en ellas.
La lógica proposicional consiste en construir afirmaciones a partir de otras ^ ~,v, →
utilizando los conectivos y , los cuales llamaremos conectivos proposicionales . Si y son afirmaciones cualquiera, entonces las siguientes también lo serán:
1. a^b, se lee ``a y b'' (conjunción).
2. a v b , se lee ``a o b(o ambas)'' (disyunción).
3. ~a, se lee ``no a'', o ``no es el caso que a'' (negación).
4. a → b, se lee ``a implica b'', ``si a entonces b'', ``b es necesario para a'', ``a es suficiente para b'' o ``b, siempre que a'' (implicación).
5. , se lee ``a si y sólo si b'', ``a es equivalente a b'' (doble implicación o equivalencia).
Desde temprana edad hemos aprendido el uso semántico de los anteriores conectivos, esto es, cómo juzgar la verdad o falsedad de afirmaciones donde ellos intervienen. Por ejemplo, sabemos que la afirmación ``a y b'' es verdadera en caso de que tanto a como b lo sean, y falsa de lo contrario, esto es, cuando a es falsa y b es verdadera, a es verdadera y b es falsa, o a y b son falsas. En la siguiente tabla, llamada tabla proposicional de verdad, resumimos el uso semántico de los distintos conectivos:

En la tabla anterior, y corresponden a ``falso'' y ``verdadero'' respectivamente. Por ejemplo, la segunda fila nos dice: si a es falsa y b es verdadera, entonces a ^ b es falsa, a v b es verdadera, etc.


El conectador de implicación, puede ser considerado como un condicional expresado de la siguiente forma:
Si A => B va a ser verdadero,
entonces toda vez que A sea verdadero, B debe ser siempre verdadero.
Para los casos en los cuales A es falso, la expresión A => B, es siempre verdadera, independientemente de los valores lógicos que tome B, ya que el operador de implicación no puede hacer inferencias acerca de los valores de B.
Existen varias equivalencias en lógica proposicional, similares a las del álgebra Booleana. Estas se dan en la Tabla 4.3.
DENOMINACIÓN REPRESENTACIÓN LÓGICA
Leyes Equipotenciales A => B = ~A v B
A ^ ~A = F
A v ~A = V
Leyes Conmutativas A ^ B = B ^ A
A v B = B v A
Leyes Distributivas A ^ (B v C) = (A ^ B) v (A ^ C)
A v (B ^ C) = (A v B) ^ (A v C)
Leyes Asociativas A ^ (B ^ C) = (A ^ B) ^ C
A v (B v C) = (A v B) v C
Leyes Absortivas A ^ (A v B) = A
A v (A ^ B) = A
Leyes de DeMorgan ~(A ^ B) = ~A v ~B
~(A v B) = ~A ^ ~B
Tabla 4.3 Equivalencias en lógica proposicional




MODUS PONENDO PONENS (PP)

p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa)
p “Llueve” (premisa)
__________________________________________________

q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)



El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).
MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)
‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.
p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan”
~q “Las calles no se mojan” ______________________________________________
~p “Luego, no llueve”
Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.

Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente.

DOBLE NEGACIÓN (DN)
~~p ↔ p

El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:
~~p “No ocurre que Ana no es una estudiante”
_____________________________________________________
p “Ana es una estudiante”
La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.
ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

Adjunción (A):
Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador Λ (conjunción).

p “Juan es cocinero”
q “Pedro es policía”
___________________________________
p Λ q “Juan es cocinero y Pedro es policía”
Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.
p Λ q “Tengo una manzana y tengo una pera”
____________________________________________
p “Tengo una manzana”
q “Tengo una pera”
MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.
A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.
p V q “He ido al cine o me he ido de compras”
~q “No he ido de compras”
_________________________________________________________ p “Por tanto, he ido al cine”
LEY DE LA ADICIÓN (LA)
Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado.
a “He comprado manzanas”
______________________________________________________________
a V b “He comprado manzanas o he comprado peras”
SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)
Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.
Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica:
p → q “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”
q → r “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve”
_______________________________________________________________ p → r “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”
SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)

Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.
p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan”
r → s “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”
p V r “Llueve o la tierra tiembla”
____________________________________________________
q V s “Las calles se mojan o los edificios se caen”
SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD)
Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.
p V q “Helado de fresa o helado de vainilla”
p → r “Si tomas helado de fresa, entonces repites”
q → r “Si tomas helado de vainilla, entonces repites”
____________________________________________________
r Luego, repites
LEY CONMUTATIVA
Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,
p Λ q ↔ q Λ p “«p y q» equivale a «q y p»”
p V q ↔ q V p “«p ó q» equivale a «q ó p»
LEYES DE MORGAN (DM)
Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:
p Λ q p V q
___________ ____________
~ (~p V ~q) ~ (~p Λ ~q)

La tautología en la lógica
Sin embargo, en lógica se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran, o de un modo más sencillo: la supuesta explicación de algo mediante una perogrullada, la "explicación" o definición de algo mediante una ligera variación de palabras que tienen en conjunto el mismo significado ya conocido de lo supuestamente explicado (Ej.: "existe el calor porque lo provoca el calórico").
Tautología: en todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el argumento es válido.
Consideremos la proposición p v ~p cuya tabla de verdad siempre será verdadera. Es una tautología. Como cuando aseguramos como verdadero que “o llueve o no llueve”.
Pero en lógica, lo tautológico se convierte en la esencia del discurso deductivo, o mejor dicho de la inferencia deductiva.
La validez lógica consiste precisamente en que no puede darse el caso de que siendo verdad el antecedente, no lo sea el consecuente.
Dicho en otras palabras la tabla de verdad del esquema de inferencia que enlaza el antecedente y el consecuente da siempre el valor de verdad V, y en todos los casos posibles de los valores de verdad de las proposiciones que la integran. Es una tautología.

Sea el esquema de inferencia [ ( p → q) ^ ( q → r)] → ( p → r) cuya tabla de verdad muestra ser una tautología. Un esquema que podría modelilzarse como: “Si llueve el suelo está mojado y si el suelo está mojado entonces las ruedas de los coches patinan. Por tanto si llueve las ruedas de los coches patinan”. Un argumento fácil de comprender.
Lo que quiere decir que todos los argumentos deductivos válidos son, por definición, tautologías.
Las tautología son infinitas en número, pero, algunas pueden ser consideradas como leyes lógicas es decir como modelos aplicables para las inferencias, cuando operamos en un cálculo formal.
Cuando en un cálculo se eligen algunas leyes lógicas como el fundamento de todo, es decir, como axiomas, entonces el cálculo es un cálculo axiomático.
Cuando usamos tales esquemas de inferencia en el lenguaje estamos argumentando.
Igual que la lógica, las matemáticas pueden ser consideradas como la ciencia de hacer tautologías particularmente elaboradas de una forma rigurosa. Un teorema es un ejemplo de tautología útil.
Para Ludwig Wittgenstein, la tautológica se trata de una proposición que necesariamente es verdadera (A es igual a A), con independencia de que represente un hecho real o no. De este modo se acepta "a priori" (previo a la experiencia) y sirve de premisa obvia.
Este tipo de verdades que no dependen de los hechos han sido consideradas de diversas maneras en la historia de la filosofía: verdad necesaria, verdad analítica, verdad de razón.

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